问题
解答题
设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：①对任意n∈N+，
（Ⅰ）若{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且a3=4，S3=18，试探究数列{Sn}与集合W之间的关系； （Ⅱ）设数列{bn}的通项公式为bn=5n-2n，且{bn}∈W，求M的取值范围． |
答案
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差是d，则
，解得a1+2d=4 3a1+3d=18
，（2分）a1=8 d=-2
∴Sn=na1+
d=-n2+9n，n(n-1) 2
∴
-Sn+1=Sn+Sn+2 2
=(Sn+2-Sn+1)-(Sn+1-Sn) 2
=an+2-an+1 2
=-1＜0d 2
∴得
＜Sn+1，适合条件①．（5分）Sn+Sn+2 2
又Sn=-n2+9n=-(n-
)2+9 2
，81 4
∴所以当n=4或n=5时，Sn取得最大值20，即Sn≤20，适合条件②．（7分）
综上，{Sn}∈W．（8分）
（Ⅱ）∵=5（n+1）-2n+1-5n+=5-2n，
∴当n≥3时，bn+1-bn＜0，此时数列{bn}单调递减；（11分）
当n=1，2时，bn+1-bn＞0，即b1＜b2＜b3，（12分）
因此数列{bn}中的最大项是b3=7，（13分）
∴M≥7，即M的取值范围是[7，+∞）．（14分）