（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），

∴a_n=2S_n-1+1（n∈N^*，n＞1），

∴a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1），

∴a_n+1-a_n=2a_n，

∴a_n+1=3a_n（n∈N^*，n＞1）（2分）

而a₂=2a₁+1=3=3a₁，

∴a_n+1=3a_n（n∈N^*）

∴数列{a_n}是以1为首项，3为公比的等比数列，

∴a_n=3^n-1（n∈N^*）（4分）

∴a₁=1，a₂=3，a₃=9，

在等差数列{b_n}中，

∵b₁+b₂+b₃=15，

∴b₂=5．

又因a₁+b₁、a₂+b₂、a₃+b₃成等比数列，设等差数列{b_n}的公差为d，

∴（1+5-d）（9+5+d）=64（6分）

解得d=-10，或d=2，

∵b_n＞0（n∈N*），

∴舍去d=-10，取d=2，

∴b₁=3，

∴b_n=2n+1（n∈N^*）．（8分）

（Ⅱ）∵T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n，

∴由（Ⅰ）知T_n=3×1+5×3+7×3²++（2n-1）3^n-2+（2n+1）3^n-1，①

3T_n=3×3+5×3²+7×3³++（2n-1）3^n-1+（2n+1）3ⁿ，②（10分）

①-②得-2T_n=3×1+2×3+2×3²+2×3³++2×3^n-1-（2n+1）3ⁿ，（12分）

=3+2（3+3²+3³++3^n-1）-（2n+1）3ⁿ

=3+2×

3-3n

1-3

-（2n+1）3n=3n-（2n+1）3n=-2n•3n，

∴T_n=n•3ⁿ．（14分）