问题
解答题
已知各项都不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=
（1）求数列{an}的通项公式； （2）求证：
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答案
（1）∵Sn=
anan+1，①1 2
∴Sn-1=
an-1an(n≥2)，②1 2
①-②得an=Sn-Sn-1=
(an+1-an-1)an1 2
∵an≠0，∴an+1-an-1=2．
数列{an}的奇数项组成首项为a1=1，公差为2的等差数列；偶数项组成首项为a2，公差为2的等差数列．
∵a1=1，∴a2=
=2，S1
a11 2
∴a2n-1=1+（n-1）×2=2n-1，a2n=2+（n-1）×2=2n．
∴数列{an}的通项公式为an=n．（n∈N*）；
（2）证明：当n≥3时，
=1 an2
＜1 n2
=1 (n-1)n
-1 (n-1)
，则1 n
+1 a12
+1 a22
+…+1 a32
=1 an2
+1 12
+1 22
+…+1 32
＜1+1 n2
+(1 4
-1 2
)+(1 3
-1 3
)+…+1 4
-1 (n-1) 1 n =
-7 4
＜1 n 7 4
当n=1时，
=1＜1 a12
； 当n=2时，7 4
+1 a12
=1 a22
＜5 4
；7 4
∴
+1 a12
+1 a22
+…+1 a32
＜1 an2
．7 4