问题
解答题
已知一次函数f（x）的图象关于直线y=x对称的图象为C，且f[f（1）]=-1，若点(n，
（1）求f（x）的解析式及曲线C的方程； （2）求数列{an}的通项公式； （3）设bn=
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答案
（1）设f（x）=kx+b（k≠0）（1分）
则f[f（1）]=k（k+b）+b=k2+kb+b=-1即k2+kb+b+1=0①（2分）
又f-1(x)=
-x k
是曲线C的解析式．b k
∵点(n，
)在曲线C上，an+1 an
∴f-1(n)-f-1(n-1)=
-an+1 an
=1an an-1
又∵f-1(n)-f-1(n-1)=
故1 k
=1，∴k=1，代入①得b=-11 k
∴f（x）=x-1，f-1（x）=x+1∴曲线C的方程是x-y+1=0（5分）
（2）由（1）知当x=n时，f-1（n）=n+1故
=n+1，而a1=1，an+1 an
于是an=
•an an-1 an-1 an-2
•a1=n•(n-1)3•2•1=n!（10分）a2 a1
（3）∵bn=
=an (n+2)!
=n! (n+2)!
=1 (n+2)(n+1)
-1 n+1 1 n+2
∴Sn=b1+b2++bn=(
-1 2
)+(1 3
-1 3
)++(1 4
-1 n+1
)=1 n+2
-1 2
＜1 n+2
（14分）1 2