（1）当n为偶数时，a_n=

n

2

，

∵f（x）=2x-1，g（x）=-2x，点（a_2n-1，a_2n）在函数y=f（x）或y=g（x）的图象上，

∴a_2n=2a_2n-1-1，或a_2n=-2a_2n-1，

当a_2n=2a_2n-1-1时，2a_2n-1=a_2n+1=n+1，∴a_2n-1=

n+1

2

，

∵数列{a_n} （n∈N^*）的各项都为整数，

∴n为奇数时，a_2n-1=

n+1

2

，

令n=2k-1，k∈N^*，则a_4k-3=

2k-1+1

2

=k，即a₁，a₅，a₉，…，成首项为1，公差为1的等差数列；

当a_2n=-2a_2n-1时，a_2n-1=-

n

2

，

所以n为偶数时，a_2n-1=-

n

2

，

令n=2k′，k′∈N^*，则a_4k′-1=-

2k′

2

=-k′，即a₃，a₇，a₁₁，…，成首项为-1，公差为-1的等差数列；

所以S₈=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈

=（a₂+a₄+a₆+a₈）+（a₁+a₅）+（a₃+a₇）

=

1

2

（2+4+6+8）+（1+2）+（-1-2）

=10；

（2）由（1）知，n为偶数时，a_n=

n

2

，且a₁，a₅，a₉，…，成首项为1，公差为1的等差数列，a₃，a₇，a₁₁，…，成首项为-1，公差为-1的等差数列，

所以S_4n=S_奇+S_偶=[（1+2+3+…+n）+（-1-2-3-…-n）]+（1+2+3+4+…+2n）=

2n(1+2n)

2

=2n²+n．

故答案为：（1）10；（2）2n²+n．