问题
填空题
如图所示的n×n的数表，满足每一行都是公差为d的等差数列，每一列都是公比为q的等比数列．已知a11=a，则a11+a22+…+ann=______．
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答案
由题意n×n的数表，满足每一行都是公差为d的等差数列，每一列都是公比为q的等比数列．已知a11=a，
数表为
或a a+d… a +(n-1)d aq aq +d … aq+(n-1)d aq2 aq2+d … aq2+(n-1)d • • … • • • … • aqn-1 aqn-1+d … aqn-1+(n-1)d a a+d… a +(n-1)d aq (a+d)q … [a+(n-1)d]q aq2 (a+d)q2 … [a +(n-1)d]q2 • • … • • • … • aqn-1(a+d)qn-1… [a+(n-1)d]qn-1
所以：akk=[a+（k-1）d]qk-1=aqk-1+（k-1）dqk-1，
又∵akk=aqk-1+（k-1）d，
所以aqk-1+（k-1）d=aqk-1+（k-1）dqk-1，
∴d=0或q=1．
当d=0时，a11+a22+…+ann=a+aq+aq2+…+aqn-1=
．na (q=1)
(q≠1)a(1-q2) 1-q
q=1时，a11+a22+…+ann=a+（a+d）+（a+2d）+…+[a+（n-1）d]=na+
d．n(n-1) 2
所以a11+a22+…+ann=
．na+
d (q=1)n(n-1) 2
(q≠1)a(1-q2) 1-q
故答案为：
．na+
d (q=1)n(n-1) 2
(q≠1)a(1-q2) 1-q