问题
解答题
| 已知数列{an}中，a1=3，a2=5，Sn为其前n项和，且满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3，n∈N*）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）令bn=
（3）若f（x）=2x-1，cn=
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答案
（1）由Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1得an=an-1+2n-1(n≥3，n∈N*)，
∵a2=5，∴当n≥3时，an=a2+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（an-an-1）=5+22+23+…+2n-1=2n+1，
经验证a1=3，a2=5也符合上式，
∴an=2n+1(n∈N*)；
（2）由（1）可得bn=
=n an-1
，n 2n
∴Tn=
+1 2
+2 22
+…+3 23
①⇒n 2n
Tn=1 2
+1 22
+…+2 23
+n-1 2n
②，n 2n+1
①-②有：
Tn=1 2
+1 2
+1 22
+…+1 23
-1 2n
=1-n 2n+1
-1 2n
，n 2n+1
∴Tn=2-
；n+2 2n
（3）∵f(x)=2x-1，cn=
，1 anan+1
∴cnf(n)=
=2n-1 (2n+1)(2n+1+1)
(1 2
-1 2n+1
)(n∈N*)，1 2n+1+1
∴Qn=c1f（1）+c2f（2）+…+cnf（n）
=
[(1 2
-1 21+1
)+(1 22+1
-1 22+1
)+…+(1 23+1
-1 2n+1
)]1 2n+1+1
=
(1 2
-1 1+2
)＜1 2n+1+1
×1 2
=1 3
．1 6