问题
解答题
在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．
（Ⅰ）证明数列{an-n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn；
（Ⅲ）证明不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．
答案
（Ⅰ）证明：由题设an+1=4an-3n+1，得an+1-（n+1）=4（an-n），n∈N*．
又a1-1=1，所以数列{an-n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知an-n=4n-1，于是数列{an}的通项公式为an=4n-1+n．
所以数列{an}的前n项和Sn=
+4n-1 3
．n(n+1) 2
（Ⅲ）证明：对任意的n∈N*，Sn+1-4Sn=
+4n+1-1 3
-4((n+1)(n+2) 2
+4n-1 3
)=-n(n+1) 2
(3n2+n-4)≤0．1 2
所以不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．