问题
解答题
在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*.
(Ⅰ)证明数列{an-n}是等比数列;
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn;
(Ⅲ)证明不等式Sn+1≤4Sn,对任意n∈N*皆成立.
答案
(Ⅰ)证明:由题设an+1=4an-3n+1,得an+1-(n+1)=4(an-n),n∈N*.
又a1-1=1,所以数列{an-n}是首项为1,且公比为4的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知an-n=4n-1,于是数列{an}的通项公式为an=4n-1+n.
所以数列{an}的前n项和Sn=
+4n-1 3
.n(n+1) 2
(Ⅲ)证明:对任意的n∈N*,Sn+1-4Sn=
+4n+1-1 3
-4((n+1)(n+2) 2
+4n-1 3
)=-n(n+1) 2
(3n2+n-4)≤0.1 2
所以不等式Sn+1≤4Sn,对任意n∈N*皆成立.