问题 解答题
已知数列{an}中,a1=6,an+1=an+1,数列{bn},点(n,bn)在过点A(0,1)的直线l上,若l上有两点B、C,向量
BC
=(1,2).
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=n•2bn,试求数列{cn}的前n项和.
答案

(1)在数列{an}中,∵an+1=an+1,∴an+1-an=1

则数列{an}是公差为1的等差数列,又a1=6,

∴an=a1+(n-1)d=6+1×(n-1)=n+5.

设l上任意一点P(x,y),∵点A(0,1)在直线l上,则

AP
=(x,y-1),

由已知可得

AP
BC
,又向量
BC
=(1,2),

∴2x-(y-1)=0,∴直线l的方程为y=2x+1,

又直线l过点(n,bn),∴bn=2n+1;       

(2)由cn=n•2bn=n•22n+1

∴Sn=C1+C2+…+cn

=1×23+2×25+3×27+…+n•22n+1

4Sn=1×25+2×27+…+(n-1)•22n+1+n•22n+3

①-②得:-3Sn=23+25+27+…+22n+1-n•22n+3

=

8(1-4n)
1-4
-n•22n+3=
8(1-4n)
-3
-n•22n+3

Sn=

8+(3n-1)22n+3
9

选择题
单项选择题