问题 解答题

已知数列{an} 的前n项和为Sn ,且有a1=2,3Sn=5an-an-1+3Sn-1(n≥2).

(1)若bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项和Tn

(2)若cn=tn[lg(2t)n+lgan+2](0<t<1),且数列{cn} 中的每一项总小于它后面的项,求实数t的取值范围.

答案

(1)∵3Sn=5an-an-1+3Sn-1(n≥2),∴3an=5an-an-1,化为an=

1
2
an-1

∴数列{an}是以2为首项,

1
2
为公比的等比数列,

an=2×(

1
2
)n-1=22-n

bn=(2n-1)•22-n

∴Tn=1×2+3×20+5×2-1+…+(2n-3)×23-n+(2n-1)•22-n

2Tn=1×22+3×21+…+(2n-3)•24-n+(2n-1)•23-n

∴Tn=4+2×21+2×20+…+2×23-n-(2n-1)•22-n

=

4(1-
1
2n
)
1-
1
2
-4-(2n-1)•22-n

=16(1-

1
2n
)-4-(2n-1)22-n

=12-

16
2n
-(2n-1)•22-n

(2)cn=tn[lg(2t)n+lg2-n]=ntn[lg(2t)-1].

∵cn<cn+1,∴ntn[lg(2t)-1]<(n+1)tn+1[lg(2t)-1].(*)

∵0<t<1,∴0<2t<2,∴lg(2t)<1.

∴(*)化为n>(n+1)t,∴t<

n
n+1

n
n+1
随着n的增大而减小,

t<

1
2

而0<t<1.

得到0<t<

1
2
.即为t的取值范围.

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