已知数列{an} 的前n项和为Sn ,且有a1=2,3Sn=5an-an-1+3Sn-1(n≥2).
(1)若bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项和Tn;
(2)若cn=tn[lg(2t)n+lgan+2](0<t<1),且数列{cn} 中的每一项总小于它后面的项,求实数t的取值范围.
(1)∵3Sn=5an-an-1+3Sn-1(n≥2),∴3an=5an-an-1,化为an=
an-1.1 2
∴数列{an}是以2为首项,
为公比的等比数列,1 2
∴an=2×(
)n-1=22-n.1 2
∴bn=(2n-1)•22-n.
∴Tn=1×2+3×20+5×2-1+…+(2n-3)×23-n+(2n-1)•22-n,
2Tn=1×22+3×21+…+(2n-3)•24-n+(2n-1)•23-n.
∴Tn=4+2×21+2×20+…+2×23-n-(2n-1)•22-n.
=2×
-4-(2n-1)•22-n4(1-
)1 2n 1- 1 2
=16(1-
)-4-(2n-1)22-n1 2n
=12-
-(2n-1)•22-n.16 2n
(2)cn=tn[lg(2t)n+lg2-n]=ntn[lg(2t)-1].
∵cn<cn+1,∴ntn[lg(2t)-1]<(n+1)tn+1[lg(2t)-1].(*)
∵0<t<1,∴0<2t<2,∴lg(2t)<1.
∴(*)化为n>(n+1)t,∴t<
.n n+1
∵
随着n的增大而减小,n n+1
∴t<
.1 2
而0<t<1.
得到0<t<
.即为t的取值范围.1 2