已知数列{an}的前n项和为Sn，首项a1=1，且对于任意n∈N+都有nan+1

问题解答题

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，首项a₁=1，且对于任意n∈N₊都有na_n+1=2S_n．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

4an+1

an2an+22

，且数列{b_n}的前n项之和为T_n，求证：Tn＜

．

答案

（Ⅰ）解法一：由na_n+1=2S_n①

得当n≥2时，（n-1）a_n=2S_n-1②，

由①-②可得，na_n+1-（n-1）a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，

所以na_n+1=（n+1）a_n，

即当n≥2时，

an+1

n+1

，

所以

，

，…，

an-1

n-1

，

将上面各式两边分别相乘得，

，

即an=

•a2（n≥3），

又a₂=2S₁=2a₁=2，所以a_n=n（n≥3），

此结果也满足a₁，a₂，

故a_n=n对任意n∈N₊都成立．…（7分）

解法二：由na_n+1=2S_n及a_n+1=S_n+1-S_n，

得nS_n+1=（n+2）S_n，

即

Sn+1

n+2

，

∴当n≥2时，Sn=S1•

•

•…•

Sn-1

=1×

×…×

n+1

n-1

n(n+1)

（此式也适合S₁），

∴对任意正整数n均有Sn=

n(n+1)

，

∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（此式也适合a₁），

故a_n=n．…（7分）

（Ⅱ）依题意可得bn=

4an+1

an2an+22

4n+4

n2(n+2)2

(n+2)2

Tn=

+…+

(n+2)2

=1+

(n+1)2

(n+2)2

(n+1)2+(n+2)2

(n+1)2(n+2)2

＜

∴Tn＜

．…（13分）