数列{an}的前n项的和Sn=2an-1（n∈N*），数列{bn}满足：b1=3

问题解答题

数列{a_n}的前n项的和S_n=2a_n-1（n∈N^*），数列{b_n}满足：b₁=3，S_n+1=a_n+b_n（n∈N^*）．

（1）求证：数列{a_n}为等比数列；

（2）求数列{b_n}的前n项的和T_n．

答案

（1）∵a_n+1=S_n+1-S_n=（2a_n+1-1）-（2a_n-1），

∴a_n+1=2a_n，

又a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1≠0，

因此数列{a_n}为公比是2、首项是1的等比数列；

（2）易得bn+1-bn=2n-1，∴bn-bn-1=2n-2，bn-1-bn-2=2n-3，…，b2-b1=20=1，

以上各式相加得，bn+1-b1=1+2+3+…+2n-1=2ⁿ-1，

∴bn+1=2n+2，∴bn=2n-1+2，

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=2n+

1-2n

1-2

=2ⁿ+2n-1（n∈N*）．