问题
解答题
| 已知某种稀有矿石的价值y（单位：元）与其重量ω（单位：克）的平方成正比，且3克该种矿石的价值为54000元． （1）写出y（单位：元）关于ω单位：克）的函数关系式； （2）若把一块该种矿石切割成重量比为1：3的两块矿石，求价值损失的百分率； （3）把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大．（注：价值损失的百分率=
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答案
解（1）依题意，设y=kω2（ω＞0），
当ω=3时，y=54000，代入上式，得：k=6000，
故y=6000ω2（ω＞0）．
（2）设这块矿石的重量为a克，由（1）可知，
按重量比为1：3切割后的价值为；6000(
a)2+6000(1 4
a)2，3 4
价值损失为；6000a2-(6000(
a)2+6000(1 4
a)2)，3 4
价值损失的百分率为；
×100%=37.5%．6000a2-[6000(
a)2+6000(1 4
a)2]3 4 6000a2
（3）解法1：若把一块该种矿石按重量比为m：n切割成两块，价值损失的百分率应为；1-[(
)2+(m m+n
)2]=n m+n
，又2mn (m+n)2
≤2mn (m+n)2
=2•(
)2m+n 2 (m+n)2
，1 2
当且仅当m=n时取等号，即重量比为1：1时，价值损失的百分率达到最大．
解法2：设一块该种矿石切割成两块，其重量比为x：1，则价值损失的百分率为；1-[(
)2+(x 1+x
)2]=1 1+x
，又x＞0，∴x2+1≥2x，2x x2+2x+1
故
≤2x x2+2x+1
=2x 2x+2x
，当且仅当x=1时等号成立．1 2
答：（1）函数关系式y=6000ω2（ω＞0）；
（2）价值损失的百分率为37.5%；
（3）故当重量比为1：1时，价值损失的百分率达到最大．