在数列{an}中，a1=2，an+1=2an+n，n∈N*．（1）证明数列{a

问题解答题

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n+n，n∈N^*．

（1）证明数列{a_n+n+1}是等比数列；

（2）求a_n的表达式；

（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

答案

（1）∵a_n+1+n+2=2a_n+n+n+2=2（a_n+n+1），

又a₁=2，

∴{a_n+n+1}是等比数列，且公比为2，首项为4；

（2）由（1）可知，a_n+n+1=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，

∴a_n=2ⁿ⁺¹-n-1；

（3）S_n=（2²-1-1）+（2³-2-1）+（2⁴-3-1）+…+（2ⁿ⁺¹-n-1）

=（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-（1+2+3+…+n）-n

4(1-2n)

1-2

n(n+1)

-n

=2ⁿ⁺²-

n(n+1)

-n-4．