数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=32（an-l），数列{bn}满足bn=1

问题解答题

数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=

（a_n-l），数列{b_n}满足b_n=

bn-1-

（n≥2），b₁=3．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式．
（2）设数列{c_n} 满足c_n=a_nlog₂（b_n+1），其前n项和为T_n，求T_n．

答案

（1）对于数列{a_n}，当n=1时，a1=S1=

(a1-1)，解得a₁=3．

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

(an-1)-

(an-1-1)，化为a_n=3a_n-1．

∴数列{a_n}是首项为3，公比为3的等比数列，

∴an=3×3n-1=3n．

对于数列{b_n}满足b_n=

bn-1-

（n≥2），b₁=3．

可得bn+1=

(bn-1+1)．

∴数列{b_n+1}是以b₁+1=4为首项，

为公比的等比数列．

∴bn+1=4×(

)n-1，化为bn=42-n-1．

（2）cn=3n•lo

g	(42-n-1+1)2

=3ⁿ（4-2n）

∴Tn=2×31+0+(-2)•33+…+（4-2n）•3ⁿ．

3Tn=2×32+0+(-2)×34+…+（6-2n）•3ⁿ+（4-2n）•3ⁿ⁺¹．

∴-2Tn=6+(-2)•32+(-2)•33+…+（-2）•3ⁿ-（4-2n）•3ⁿ⁺¹

=6-2×

32(3n-1-1)

3-1

-（4-2n）•3ⁿ⁺¹．

∴Tn=-

-n)•3n+1．