问题
解答题
| 已知n∈N*，设Sn是单调递减的等比数列{an}的前n项和，a1=1，且S2+a2、S4+a4、S3+a3成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）数列x∈（0，+∞）满足b1=2a1，bn+1bn+bn+1-bn=0，求数列f（x）max≤0的通项公式； （Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，若cn=
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答案
（ I）设数列{an}的公比为q，由2（S4+a4）=S2+a2+S3+a3，
得（S4-S2）+（S4-S3）+2a4=a2+a3，即4a4=a2，
所以q2=
，1 4
∵{an}是单调数列，
∴q=
，1 2
∴an=(
)n-1．1 2
（ II）b1=2，∵bn+1bn+bn+1-bn=0，
∴1+
-1 bn
=0，即1 bn+1
-1 bn+1
=1，1 bn
即{
}是以1 bn
为首项，1为公差的等差数列，1 2
故
=1 bn
+（n-1）×1=1 2
，即bn=2n-1 2
．2 2n-1
（ III）∵cn=
=ancos(nπ) bn
cos（nπ）=2n-1 2n
•（-1）n=（2n-1）×(-2n-1 2n
)n，1 2
∴Tn=1×（-
）+3×(-1 2
)2+5×(-1 2
)3+…+（2n-1）×(-1 2
)n，1 2
-
Tn=1×(-1 2
)2+3×(-1 2
)3+…+（2n-3）×(-1 2
)n+（2n-1）×(-1 2
)n+1，1 2
两式相减，得
Tn=1×（-3 2
）+2[(-1 2
)2+(-1 2
)3+…+(-1 2
)n-（2n-1）×(-1 2
)n+1]1 2
=
+2×1 2
-（2n-1）×(--
×[1-(-1 2
)n]1 2 1+ 1 2
)n+11 2
=
-1 2
[1-(-2 3
)n]-（2n-1）×(-1 2
)n+1，1 2
=-
+（n+1 6
）•(-1 6
)n，1 2
即Tn=-
+1 9
（6n+1）(-1 9
)n．1 2