（Ⅰ）∵a₁=2，Sn=

1

2

an+1-1（n∈N^*），

∴当n=1时，S1=

1

2

a2-1=a1=2，

解得a₂=6．

当n=2时，S2=

1

2

a3-1=2+6=8，

解得a₃=18．

（Ⅱ）∵a₁=2，Sn=

1

2

an+1-1（n∈N^*），

∴当n≥2时，Sn=

1

2

an+1-1，Sn-1=

1

2

an-1，

∴an=Sn-Sn-1=

1

2

an+1-

1

2

an，

即a_n+1=3a_n．

对于a₂=3a₁也满足上式，

∴数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，

∴an=2•3n-1(n∈N*)．

（ III）∵an=2•3n-1(n∈N*)，

∴nan=2n•3n-1，

∴Tn=2•1+4•3+6•32+8•33+…+2n•3n-1，

3Tn=2•3+4•32+6•33+8•34+…+2n•3n，

相减得，-2Tn=2(1+3+32+33+…+3n-1)-2n•3n

=2•

1-3n

1-3

-2n•3n

=3ⁿ-1-2n•3ⁿ，

∴Tn=

(2n-1)•3n+1

2

．