问题
解答题
| 设递增等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2=3，S3=13，数列{bn}满足b1=a1，点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，n∈N*． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）设cn=
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答案
（Ⅰ）∵递增等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2=3，S3=13，
∴
，a2=3 S3=a1+a2+a3=13
解得q=3或q=
，1 3
∵数列{an}为递增等比数列，所以q=3，a1=1．
∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列．
∴an=3n-1．…（3分）
∵点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，
∴bn+1-bn=2．
∴数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴bn=1+（n-1）•2=2n-1．…（5分）
（Ⅱ）∵cn=
=bn an
，2n-1 3n-1
∴Tn=
+1 30
+3 31
+…+5 32
．2n-1 3n-1
Tn=1 3
+1 3
+3 32
+…+5 33
+2n-3 3n-1
，…（7分）2n-1 3n
两式相减得：
Tn=2 3
+1 3
+2 3
+…+2 32
-2 3n-1 2n-1 3n
=1+2×
-
[1-(1 3
)n-1]1 3 1- 1 3 2n-1 3n
=2-（
）n-1-1 3
．…（8分）2n-1 3n
所以Tn=3-
-1 2•3n-2
=3-2n-1 2•3n-1
．…（9分）n+1 3n-1
∵Tn+1-Tn=3-
-3+n+2 3n
=n+1 3n-1
＞0，…（10分）2n+1 3n
∴Tn≥T1=1．
若Tn＞2a-1恒成立，则1＞2a-1，
解得a＜1．
∴实数a的取值范围{a|a＜1}．…（12分）