已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an-2．（Ⅰ）求数列{an}的通项

问题解答题

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n-2．

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设b_n=a_n•log₂a_n+1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

答案

（Ⅰ）当n=1时，a₁=2，

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）

即：

an-1

=2，∴数列{a_n}为以2为公比的等比数列，

∴an=2n．

（Ⅱ）∵bn=2n•log22n+1=(n+1)•2n，

∴

Tn=2×2+3×22+…+n•2n-1+(n+1)•2n

2Tn=2×22+3×23+…+n•2n+(n+1)•2n+1

两式相减，得-Tn=4+22+23+…+2n-(n+1)2n+1=-n•2n+1，

∴Tn=n•2n+1．