∵f（n）=n²sin

nπ

2

，

∴a_n=f（n）+f（n+1）=n²sin

nπ

2

+（n+1）²sin

(n+1)π

2

=n²sin

nπ

2

+（n+1）²cos

nπ

2

，

∴a₁=1，

a₂=a₃=-3²，

a₄=a₅=5²，

a₆=a₇=-7²，

…

a₂₀₁₂=a₂₀₁₃=2013²，

a₂₀₁₄=-2015²．

∴a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₄

=（a₁+a₃+…+a₂₀₁₃）+（a₂+a₄+…+a₂₀₁₄）

=[（1-3²）+（5²-7²）+…+（2009²-2011²）+2013²]+[（-3²+5²）+（-7²+9²）+…+（-2011²+2013²）-2015²]

=-2（4+12+20+…+4020）+2013²+2（8+16+…+4024）-2015²

=-2×

(4+4020)×503

2

+2×

(8+4024)×503

2

-2015²+2013²

=503×8-2×4028

=-4032．