问题
解答题
已知数列{an}满足：a1=a+2（a≥0），an+1=
（1）若a=0，求数列{an}的通项公式； （2）设bn=|an+1-an|，数列的前n项和为Sn，证明：Sn＜a1． |
答案
（1）若a=0时，a1=2，an+1=
，an
∴an+12=an且an＞0．
两边取对数，得2lgan+1=lgan，
∵lga1=lg2，
∴数列{lgan}是以lg2为首项，
为公比的等比数列，1 2
∴lgan=(
)n-1lg2，即an=221-n；1 2
（2）由an+1=
，得an+12=an+a，①an+a
当n≥2时，
=an-1+a，②a 2n
①-②，得（an+1+an）（an+1-an）=an-an-1，
由已知可得an＞0，∴an+1-an与an-an-1同号，
∵a2=
，且a＞0，∴2a+2
-a 21
=（a+2）2-（2a+2）=a2+2a+2＞0恒成立，a 22
∴a2-a1＜0，则an+1-an＜0．
∵bn=|an+1-an|，∴bn=-（an+1-an），
∴Sn=-[（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an+1-an）]=-（an+1-a1）=a1-an+1＜a1．