问题
解答题
| 已知数列{an}满足：a1=1，an-an-1+2anan-1=0，(n∈N*，n＞1) （Ⅰ）求证数列{
（Ⅱ）设bn=anan+1，求证：b1+b2+…+bn＜
|
答案
证明：（Ⅰ）an-an-1+2anan-1=0两边同除以anan-1得：
-1 an
=21 an-1
所以数列{
}是以1为首项，2为公差的等差数列…（3分）1 an
于是
=2n-1，an=1 an
，(n∈N*)…（6分）1 2n-1
（Ⅱ）由（Ⅰ），bn=
则1 (2n-1)(2n+1)
b1+b2+…+bn=
+1 1×3
+…+1 3×5 1 (2n-1)(2n+1)
=
(1-1 2
+1 3
-1 3
+…+1 5
-1 2n-1
)=1 2n+1
(1-1 2
)＜1 2n+1
…（12分）1 2