设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a3=4，S2=3．（1）求数列{a

问题解答题

设正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=4，S₂=3．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）令bn=(2n-1)an(n∈N*)，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

答案

（1）设正项等比数列{a_n}的公比为q（q＞），

∵a₃=4，S₂=3，

∴

a1q2=4

a1+a1q=3

，

解得

q=2

a1=1

，或

q=-

a1=9

（舍），

∴an=2n-1．

（2）由（1）知b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•2^n-1，

∴T_n=1+3×2+5×2²+7×2³+…+（2n-3）×2^n-2+（2n-1）×2^n-1，①

2T_n=2+3×2²+5×2³+7×2⁴+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，②

错位相减，①-②，得

-T_n=-1+6+2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ-（2n-1）×2ⁿ

=5+

23(1-2n-2)

1-2

-（2n-1）×2ⁿ

=5-8+2ⁿ⁺¹-n×2ⁿ⁺¹+2ⁿ

=-3-（2n-3）•2ⁿ．

∴T_n=3+（2n-3）•2ⁿ．