已知数列an的前项和Sn=2n+2-4(n∈N*)，函数f（x）对任意的x∈R都

问题解答题

已知数列a_n的前项和Sn=2n+2-4(n∈N*)，函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）+f（1-x）=1，数列{b_n}满足b_n=f（0）+f（

）+f（

）…+f（

n-1

）+f（1）．
（1）分别求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n，T_n是数列{c_n}的前项和，是否存在正实数k，使不等式k（n²-9n+26）T_n＞4nc_n对于一切的n∈N^*恒成立？若存在请指出k的取值范围，并证明；若不存在请说明理由．

答案

（1）∵Sn=2n+2-4(n∈N*)，

∴n=1，a1=S1=21+2-4=4…（1分）

n≥2，an=Sn-Sn-1=(2n+2-4)-(2n+1-4)=2n+1，

n=1时满足上式，

∴an=2n+1(n∈N*)…（2分）

∵f（x）+f（1-x）=1，

∴f(

)+f(

n-1

)=1，…（3分）

∵b_n=f（0）+f（

）+f（

）…+f（

n-1

）+f（1），①

∴bn=f(1)+f(

n-1

)+f(

n-2

)+…+f（1）+f（0），②

∴①+②，得2bn=n+1∴bn=

n+1

．…（5分）

（2）∵c_n=a_n•b_n，

∴cn=(n+1)•2n…（6分）

∴Tn=2•21+3•22+4•23+…+(n+1)•2n，①

2T_n=2×2²+3×2³+4×2⁴+…+（n+1）×2ⁿ⁺¹，②

①-②，得-Tn=4+22+23+…+2n-(n+1)•2n+1…（8分）

即Tn=n•2n+1…（9分）

要使得不等式k（n²-9n+26）T_n＞4nc_n恒成立，

∵（n²-9n+26）T_n＞0恒成立，

∴k＞

4ncn

(n2-9n+26)Tn

对于一切的n∈N^*恒成立，

即k＞

2(n+1)

n2-9n+26

…（11分）

令g(n)=

2(n+1)

n2-9n+26

(n∈N*)，

则g(n)=

2(n+1)

(n+1)2-11(n+1)+36

(n+1)-11+

(n+1)

≤

(n+1)•

(n+1)

-11

当且仅当n=5时等号成立，

∴g（n）_max=2…（13分）

所以k＞2为所求．…（14分）