设数列{an}是公差大于零的等差数列，已知a1=2，a3=a22-10．（1）

问题解答题

设数列{a_n}是公差大于零的等差数列，已知a₁=2，a₃=a₂²-10．

（1）求{a_n}的通项公式；

（2）设数列{b_n}是以函数f（x）=4sin²πx的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

答案

（1）设{a_n}的公差为d，d＞0，

∵a₁=2，a₃=a₂²-10，

∴

a1=2

a1+2d=(a1+d)2-10

，解得a=2或d=-4（舍）．（5分）

∴a_n=2+（n-1）×2=2n．（6分）

（2）∵y=4sin²πx=4×

1-cos2πx

=-2cos2πx+2，

其最小正周期为

2π

=1，

∴首项为b₁=1．（7分）

∵公比为q=3，从而bn=3n-1，

∴a_n•b_n=2n•3^n-1，（8分）

∴S_n=2•3⁰+4•3+6•3²+…+2n•3^n-1，①

3S_n=2•3+4•3²+6•3³+…+2n•3ⁿ，②

①-②，得：-2S_n=2+2（3+3²+3³+…+3^n-1）-2n•3ⁿ

=2+2×

3(1-3n-1)

1-3

-2n•3ⁿ

=2+3ⁿ-3-2n•3ⁿ，

∴S_n=

(2n-1)•3n+1

．（12分）