在等比数列{an}中，an＞0，（n∈N*），公比q＞1，a1a3+2a2a4+

问题解答题

在等比数列{a_n}中，a_n＞0，（n∈N^*），公比q＞1，a₁a₃+2a₂a₄+a₃a₅=100，且4是a₂与a₄的等比中项，

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）设b_n=an2+log₂an，求数列{b_n}的前n项和S_n．

答案

（1）设等比数列{a_n}的公比为q，则a_n=a₁q^n-1，

由已知得a₁a₃+2a₂a₄+a₃a₅=（a₂+a₄）²=100，

∵a_n＞0，（n∈N^*），

∴a₂+a₄=10，

∵4是a₂与a₄的等比中项，

∴a₂a₄=4²=16，

∴a₂，a₄是方程x²-10x+16=0的两个根，

∵q＞1，∴a₂=2，a₄=8，

∴

a1q=2

a1q3=8

，解得a₁=1，q=2，

∴an=2n-1．

（2）∵an=2n-1，

∴b_n=an2+log₂an=4^n-1+（n-1），

∴数列{b_n}的前n项和

S_n=（1+4+4²+…+4^n-1）+（1+2+3+…+n-1）

4n-1

n(n-1)

．