问题
解答题
数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）．
（Ⅰ）求a2，a3的值；
（Ⅱ）证明数列{an}是等比数列，写出数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）求数列{nan}的前n项和Tn．
答案
（Ⅰ）∵{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）；
∴a2=2s1+1=2a1+1=2×1+1=3，
∴s2=a1+a2=1+3=4，
∴a3=2s2+1=2×4+1=9．
（Ⅱ）∵an+1=2Sn+1①，
∴an=2Sn-1+1②，
①-②得：an+1-an=2（Sn-Sn-1）=2an；
∴
=3，an+1 an
∴数列{an}是公比为q=3的等比数列；
∴通项公式an=1×3n-1=3n-1．
（Ⅲ）∵an=1×3n-1=3n-1，
∴Tn=nan=1•30+2•31+3•32+…+（n-1）•3n-2+n•3n-1①
于是，3Tn=1•31+2•32+3•33+…+（n-1）3n-1+n•3n②
①-②得：-2Tn=1+3+32+…+3n-1-n•3n=
-n•3n1×(1-3n) 1-3
∴前n项和Tn=
[(2n-1)×3n+1]．1 4