问题
解答题
定义一种新运算*，满足n*k=nλk-1（n，k∈N*λ为非零常数）．
（1）对于任意给定的k，设an=n*k（n=1，2，3，…），证明：数列{an}是等差数列；
（2）对于任意给定的n，设bk=n*k（k=1，2，3…），证明：数列{bk}是等比数列；
（3）设cn=n*n（n=1，2，3，..），试求数列{cn}的前n项和Sn．
答案
（1）证明：∵n*k=nλk-1（n，k∈N*λ为非零常数），
∴an=n*k=nλk-1（n=1，2，3，…），
∴an+1-an=（n+1）λk-1-nλk-1=λk-1．
∵k，λ为非零常数，∴数列{an}是等差数列．
（2）证明：∵n*k=nλk-1（n，k∈N*，λ为非零常数），
∴bk=n*k=nλk-1（k=1，2，3，…），
∴
=bk+1 bk
=λ．nλk nλk-1
∵λ为非零常数，
∴数列{bk}是等比数列．
（3）∵n*k=nλk-1（n，k∈N*，λ为非零常数），
∴n*n=nλn-1．
则Sn=c1+c2+…+cn=λ0+2λ+3λ2+…+nλn-1，
①当λ=1时，Sn=1+2+3+…+n=
．n(n+1) 2
②当λ≠1时，λSn=λ+2λ2+3λ3+…+nλn．
①-②得：（1-λ）Sn=1+λ+λ2+…+λn-1-nλn，
∴Sn=
-1-λn (1-λ)2
，nλn 1-λ
综上可知，Sn=
．
，当λ=1时n(n+1) 2
-1-λn (1-λ)2
，当λ≠1时nλn 1-λ