问题
解答题
已知：数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n，（n∈N*）．
（Ⅰ）求：a1，a2的值；
（Ⅱ）求：数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）若数列{bn}的前n项和为Tn，且满足bn=nan，（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
答案
（Ⅰ）∵Sn=2an-n，
令n=1，解得a1=1；
令n=2，解得a2=3…（2分）
（Ⅱ）∵Sn=2an-n，
所以Sn-1=2an-1-（n-1），（n≥2）
两式相减得an=2an-1+1…（4分）
所以an+1=2（an-1+1），（n≥2）…（5分）
又因为a1+1=2
所以数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列…（6分）
所以an+1=2n，即通项公式an=2n-1…（7分）
（Ⅲ）∵bn=nan，
所以bn=n(2n-1)=n•2n-n
所以Tn=(1•2-1)+(2•22-2)+…+（n•2n-n）
Tn=(1•2+2•22+…+n•2n)-(1+2+…+n)…（9分）
令Sn=1•2+2•22+…+n•2n①
2Sn=1•22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1②
①-②得-Sn=2+22+…+2n-n•2n+1
=
-n•2n+1…（11分）2(1-2n) 1-2
∴Sn=2(1-2n)+n•2n+1=2+（n-1）•2n+1…（12分）
所以Tn=2+(n-1)•2n+1-
…（13分）n(n+1) 2