问题
解答题
| 已知数列{an}是首项为1的等差数列，其公差d＞0，且a3，a7+2，3a9成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求证：a1+
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答案
（Ⅰ）因为an=1+（n-1）d，则a3=1+2d，a7=1+6d，a9=1+8d．（3分）
由已知，(a7+2)2=a3•3a9，则（3+6d）2=3（1+2d）（1+8d），即2d2-d-1=0．（5分）
所以（2d+1）（d-1）=0．
因为d＞0，则d=1，
故an=n．（6分）
（Ⅱ）设Sn=a1+
+a2 2
+…+a3 22
，则Sn=1+an 2n-1
+2 2
+…+3 22
，n 2n-1
则
Sn=1 2
+1 2
+…+2 22
．（8分）n 2n
两式相减得，
Sn=1+1 2
+1 2
+1 22
+…+1 23
-1 2n-1
=n 2n
-1- 1 2n 1- 1 2
=2-n 2n
．n+2 2n
所以Sn=4-
．（12分）n+2 2n-1
因为
＞0，则4-n+2 2n-1
＜4，故a1+n+2 2n-1
+a2 2
+…+a3 22
＜4．（13分）an 2n-1