（1）因为a1=f(1)-c=

1

3

-c，

a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-

2

9

，

a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-

2

27

．

又数列{a_n}成等比数列，

所以a1=

a22

a3

=

4 81

- 2 27

=-

2

3

=

1

3

-c，

解得c=1．…（2分）

又公比q=

a2

a1

=

1

3

，

所以an=-

2

3

•(

1

3

)n-1=-2•（

1

3

）^n-1，n∈N^*．…（3分）

（2）∵Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

，n≥2，

即(

Sn

-

Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

，n≥2

∴

Sn

-

Sn-1

=1，（n≥2）…（5分）

又

S1

=

b1

=

c

=1

∴数列{

Sn

}构成一个首项为1，公差为1的等差数列，

∴

Sn

=1+（n-1）×1=n，∴Sn=n2．…（6分）

（3）由（2）得Sn=n2，

当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，（*）

又b₁=S₁=1，适合（*）式

∴b_n=2n-1，（n∈N^*）…（8分）

∵

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，

∴Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

5

-

1

7

)+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)

=

1

2

（1-

1

2n-1

）=

n

2n+1

，…（10分）

由T_n=

n

2n+1

＞

1000

2009

，得n＞

1000

9

，

故满足Tn＞

1000

2009

的最小正整数为112．…（11分）

（4）cn=

2bn

an

=(1-2n)•3n．…（12分）

∴Pn=(-1)×3+(-3)×32+(-5)×33+…+(1-2n)×3n①3Pn=(-1)×32+(-3)×33+(-5)×34+…+(3-2n)×3n+(1-2n)×3n+1②

②-①得2Pn=3+2×32+2×33+…+2×3n+(1-2n)×3n+1

=3+2× 32(1-3n-1) 1-3 +(1-2n)×3n+1 =(2-2n)•3n+1-6.

∴Pn=(1-n)•3n+1-3．…（14分）