已知Sn为数列{an}的前n项之和，a2=1，对任意的正整数n，都有Sn-2=p

问题解答题

已知S_n为数列{a_n}的前n项之和，a₂=1，对任意的正整数n，都有S_n-2=p（a_n-2），其中p为常数，且p≠1．

（1）求p的值；（2）求S_n．

答案

（1）因为对任意的正整数n，都有S_n-2=p（a_n-2），

所以，当n=1时，S₁=a₁，∴a₁-2=p（a₁-2），

（a₁-2）（p-1）=0且p≠1．∴a₁=2

由S₂-2=a₂-2，即a₁+a₂-2=p（a₂-2），a₂=1

即p=-1

（Ⅱ）S_n-2=-（a_n-2）=2-a_nS_n-1-2=2-a_n-1

两式相减得S_n-S_n-1=a_n=-a_n+a_n-1

∴a_n=

a_n-1，∴a_n=2×（

）^n-1=

2n-2

∴S_n=4-a_n=4-

2n-2

．