（I）由a₁=1，S_n+1=4a_n+2，

有a₁+a₂=4a₁+2，

∴a₂=3a₁+2=5，

∴b₁=a₂-2a₁=3…（1分）

由S_n+1=4a_n+2，…①

则当n≥2时，有S_n=4a_n-1+2…②

②-①得a_n+1=4a_n-4a_n-1，

∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）…（3分）

又b_n=a_n+1-2a_n，

∴b_n=2b_n-1，

∴数列{b_n}是首项b₁=3，公比为2的等比数列．…（4分）

（II）由（I）可得b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，

∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

∴数列{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

3

4

的等差数列，…（6分）

∴

an

2n

=

1

2

+（n-1）×

3

4

=

3

4

n-

1

4

，

∴a_n=（3n-1）•2^n-2，…（8分）

（III）由（II）知，c_n=2nb_n=3n•2ⁿ，则

S_n=3（1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ），…（10分）①

2S_n=3（1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹），②

①-②，得

-S_n=3（2+2²+2³+…+2ⁿ）-3n•2ⁿ⁺¹，…（12分）

=3（1-n）2ⁿ⁺¹-6，

所以S_n=3（n-1）2ⁿ⁺¹+6．…（14分）