某小区居住的张女士，经常与同样居住在小区的其他老年人一起在小区广场上打太极拳，广场周围有几株粗大的老杨树。寒冬已至。树叶已落，枯枝清晰可见。突然，一阵旋风刮来，枯枝纷纷坠落，来不及躲闪的张女士被一根较粗的枯枝砸倒在地。闻讯赶来的保安员把张女士送到医院，诊断为：颈脊髓震荡，颈椎过伸性损伤。
请问：

物业服务公司对小区内老杨树是否有管理义务

自净作用