解：　(1)由题意f (a_n)＝m²·m^n-1，即ma_n＝mⁿ⁺¹.

∴a_n＝n＋1，∴a_n＋1－a_n＝1，∴数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列．

(2)由题意b_n＝a_n f (a_n)＝(n＋1)·mⁿ⁺¹，

当m＝3时，b_n＝(n＋1)·3ⁿ⁺¹，∴S_n＝2·3²＋3·3³＋4·3⁴＋^…＋(n＋1)·3ⁿ⁺¹①

①式两端同乘以3得，3S_n＝2·3³＋3·3⁴＋4·3⁵＋^…＋n·3ⁿ⁺¹＋(n＋1)·3ⁿ⁺²②

②－①并整理得，

2S_n＝－2·3²－3³－3⁴－3⁵－^…－3ⁿ⁺¹＋(n＋1)·3ⁿ⁺²＝－3²－(3²＋3³＋3⁴＋^…＋3ⁿ⁺¹)＋(n＋1)·3ⁿ⁺²

＝－3²－＋(n＋1)·3ⁿ⁺²＝－9＋ (1－3ⁿ)＋(n＋1)·3ⁿ⁺²＝(n＋)3ⁿ⁺²－.

∴S_n＝(2n＋1)3ⁿ⁺²－.

(3)由题意c_n＝f (a_n)·lg f (a_n)＝mⁿ⁺¹·lgmⁿ⁺¹＝(n＋1)·mⁿ⁺¹·lgm，

要使c_n≥c_n＋1对一切n∈N^*成立，即(n＋1)·mⁿ⁺¹·lgm≥(n＋2)·mⁿ⁺²·lgm，对一切n∈N^*成立，

① 当m>1时，lgm>0，所以n＋1≥m(n＋2)，即m≤对一切n∈N^*成立，

因为＝1－的最小值为，所以m≤，与m>1不符合，即此种情况不存在.

②当0<m<1时，lgm<0，所以n＋1≤m(n＋2)，即m≥对一切n∈N^*成立，所以≤m<1.

综上，当≤m<1时，数列{c_n}中每一项恒不小于它后面的项