∵a_n=log_n+1（n+2）=

log2(n+2)

log2(n+1)

，（n∈N^*），

∴a₁•a₂•a₃…a_k=

log23

log22

•

log24

log23

•

log25

log24

…

log2(k+2)

log2k

=log₂（k+2），

又∵a₁•a₂•a₃…a_k为整数，

∴k+2必须是2的n次幂（n∈N^*），即k=2ⁿ-2；

又k∈[1，2013]，∴1≤2ⁿ-2≤2013，∴取2≤n≤10；

∴区间[1，2013]内所有的企盼数的和为：

M=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）=

22-211

1-2

-2×9=2026；

故选：B．