已知等比数列{an}中，an > 0，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a

问题解答题

已知等比数列{a_n}中，a_n> 0，公比q∈(0,1)，且a₁a₅＋2a₃a₅＋a₂a₈＝25， a₃与a₅的等比中项为2.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设b_n＝log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n.

答案

解：(1)∵a₁a₅＋2a₃a₅＋a₂a₈＝25，∴a₃²＋2a₃a₅＋a₅²＝25，

∴(a₃＋a₅)²＝25，又a_n>0，∴a₃＋a₅＝5，

又a₃与a₅的等比中项为2， ∴a₃a₅＝4.

而q∈(0,1)， ∴a₃>a₅，∴a₃＝4，a₅＝1，

∴q＝，a₁＝16， ∴a_n＝16×()ⁿ^－1＝2⁵^－n.

(2)∵b_n＝log₂a_n＝5－n， ∴b_n_＋1－b_n＝－1， b₁＝log₂a₁＝log₂16＝log₂2⁴＝4，

∴{b_n}是以b₁＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S_n＝.