已知函数f(x)=2|x-2x≥a2|x-10x＜a，（I）当a=1时，求f（

问题解答题

已知函数f(x)=

2|x-2 x≥a

2|x-10 x＜a

，
（I）当a=1时，求f（x）最小值；
（II）求f（x）的最小值g（a）；
（III）若关于a的函数g（a）在定义域[2，10]上满足g（-2a+9）＜g（a+1），求实数a的取值范围．

答案

（I）当a=1时，f(x)=

2|x-2 x≥1

2|x-10 x＜1

当x≥1时，函数先减后增，当x＜1时，函数是一个是一个减函数，

∴最小值f（2）=1；

（II）当2^|x-2|＞2^|x-10|时，|x-2|＞|x-10|

∴6＜x＜10，即g（a）=2^|a-10|

当2^|x-2|＜2^|x-10|时，

2≤a≤6，即g（a）=2^|a-2|

当a≤2，a≥10时，g（a）=1

综上可知g（a）=2^|a-10|，6＜x＜10，

g（a）=2^|a-2| 2≤a≤6，

g（a）=1，a≤2，a≥10

（III）∵g（-2a+9）＜g（a+1），

∴2＜-2a+9＜10，①

2＜a+1＜10，②

|a-5|＜|-2a+3|③

∴-

＜a＜

1＜a＜9

（3a-8）（a+2）＞0，即a＞

或a＜-2

总上可知a∈φ