问题
解答题
| 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.3万元/辆，年销售量为50000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆投入成本增加比例为x（0＜x＜1），则出厂价格相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加，已知年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量． （Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，写出本年度的年利润关于x的函数关系式； （Ⅱ）若年销售量关于x的函数为y=3240(-x2+2x+
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答案
（I）设年利润为y，则有y=[1.3（1+0.7x）-1×（1+x）]50000（1+0.4x）=50（-36x2+30x+300）．
即y=-1800x2+1500x+15000，x∈（0，1）．（4分）
（Ⅱ）依题意年利润f(x)=[1.3(1+0.7x)-1×(1+x)]×3240(-x2+2x+
)， x∈(0， 1)5 3
即f(x)=
(9x3-48x2+45x+50)， x∈(0， 1)．（6分）162 5
要求f（x）的最大值，即求g（x）=9x3-48x2+45x+50，x∈（0，1）的最大值．g'（x）=27x2-96x+45．
由g'（x）=0得x=
或x=3（舍）．（8分）5 9
当x∈(0，
)时，g'（x）＞0；当x∈(5 9
， 1)时，g'（x）＜0．5 9
∴x=
时，g（x）有最大值，g(x)max=g(5 9
)=5 9
．（10分）5000 81
∴f(x)max=f(
)=5 9
×162 5
=2000．（11分）5000 81
答：当x=
时，本年度年利润最大为2000万元．（12分）5 9