问题
解答题
数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn=2an﹣3n．
（1）设bn=an+3，求证：数列{bn}是等比数列，并求出{an}的通项公式；
（2）求数列{nan}的前n项和．
答案
解：（1）∵Sn=2an﹣3n，对于任意的正整数都成立，
∴Sn﹣1=2an﹣1﹣3n﹣3，
两式相减，得a n+1=2an+1﹣2an﹣3，即an+1=2an+3，
∴an+1+3=（2an+3），
所以数列{bn}是以2为公比的等比数列，
由已知条件得：S1=2a1﹣3，a1=3．
∴首项b1=a1+3=6，公比q=2，
∴an=6●2n﹣1﹣3=3●2n﹣3．
（2）∵nan=3×n●2n﹣3n
∴Sn=3（1●2+2●22+3●23+…+n●2n）﹣3（1+2+3+…+n），
2Sn=3（1●22+2●23+3●24+…+n●2n+1）﹣6（1+2+3+…+n），
∴﹣Sn=3（2+22+23+…+2n）+3（1+2+3+…+n）=
∴Sn=