问题
解答题
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且3an+1+2Sn=3(n为正整数)
(Ⅰ)求出数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若对任意正整数n,k≤Sn恒成立,求实数k的最大值.
答案
解:(Ⅰ)∵3an+1+2Sn,①
∴当n≥2时,3an+2Sn﹣1=3.②
由 ①﹣②,得3an+1﹣3an+2an=0.
∴,n≥2.
又∵a1=1,3a2+2a1=3,解得 .
∴数列{an}是首项为1,公比为的等比数列.
∴,(n为正整数).
(2)∵数列{an}是首项为1,公比为的等比数列,
∴=
,
由题意可知,对于任意的正整数n,恒有k≤,
∴数列{1﹣}单调递增,
当n=1时,数列中的最小项为,
即
∴必有k≤1,即实数k的最大值为1.