问题
解答题
已知数列{an}的前n项和Sn=-an-(
（1）求数列{an}的通项公式； （2）令cn=
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答案
（1）在Sn=-an-(
)n-1+2中，1 2
令n=1，可得S1=-a1-1+2=a1，
即a1=1 2
当n≥2时，Sn-1=-an-1-(
)n-2+2，1 2
∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1+(
)n-1，1 2
∴2an=an-1+(
)n-1，即2nan=2n-1an-1+1．1 2
∵bn=2nan，∴bn=bn-1+1，
即当n≥2时，bn-bn-1=1．
又b1=2a1=1，
∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．
于是bn=1+（n-1）•1=n=2nan，
∴an=
．n 2n
（2）由（1）得cn=
an=(n+1)(n+1 n
)n，1 2
所以Tn=2×
+3×(1 2
)2+4×(1 2
)3+…+(n+1)(1 2
)n1 2
Tn=2×(1 2
)2+3×(1 2
)3+4×(1 2
)4+…+(n+1)(1 2
)n+11 2
由①-②得
Tn=1+(1 2
)2+(1 2
)3+…+(1 2
)n-(n+1)(1 2
)n+11 2
=1+
-(n+1)(
[1-(1 4
)n-1]1 2 1- 1 2
)n+1=1 2
-3 2 n+3 2n+1 ∴Tn=3- n+3 2n