问题
解答题
广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为X万美元，可获得的加工费近似地为
（1）若某时期美元贬值指数m=
（2）若该企业加工产品订单的金额为X万美元时共需要的生产成本为
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答案
（1）由已知m=
，f（x）=1 200
ln（2x+1）-1 2
，（其中x＞0）；x 200
∴f′（x）=
-1 2x+1
=1 200
；199-2x 200(2x+1)
由f′（x）＞0，即199-2x＞0，解得0＜x＜99.5；
即加工产品订单金额x∈（0，99.5）（单位：万美元）时，该企业的加工费随x的增加不断增长．
（2）依题意，企业加工生产不出现亏损，则
当x∈[10，20]时，都有
ln（2x+1）-mx≥1 2
x，即1 20
+m≤1 20
，ln(2x+1) 2x
令g（x）=
，x∈[10，20]，则ln(2x+1) 2x
g′（x）=
=
•x-ln(2x+1)2 2x+1 2x2
；2x-(2x+1)ln(2x+1) 2x2(2x+1)
令h（x）=2x-（2x+1）ln（2x+1），则
h′（x）=2-[2ln（2x+1）+（2x+1）
]=-2ln（2x+1）＜0，2 2x+1
可知h（x）在[10，20]上单调递减，从而h（20）≤h（x）≤h（10）；
又h（10）=20-21ln21＜21（1-ln21）＜0，
即x∈[10，20]时，知g（x）在[10，20]上单调递减，
因此，gmin（x）=
，即m≤ln41 40
-ln41 40
；1 20
故当美元的贬值指数m∈(0，
]时，该企业加工生产不会亏损．ln41-2 40