问题
解答题
已知等比数列{an}的前n项和为Sn=2•3n+k（k∈R，n∈N*）
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}满足an=4(5+k)anbn，Tn为数列{bn}的前n项和，试比较3-16Tn与 4（n+1）bn+1的大小，并证明你的结论．
答案
（Ⅰ）由Sn=2-3n+k可得
n≥2 时，an=Sn-Sn-1=4×3n-1
∵{an}是等比数列
∴a1=S1=6+k=4∴k=-2，an=4×3n-1
（Ⅱ）由an=4×(5+k)anbn和an=4×3n-1得bn=
（6分）n-1 4•3n-1
Tn=b1+b2+…+bn
=
+1 4•3
+…+2 4•32
+n-2 4•3n-2 n-1 4•3n-1
3Tn=
+1 4
+2 4•3
+…+3 4•32 n-1 4•3n-2
两式相减可得，2Tn=
+1 4
+1 4•3
+…+1 4•32
-1 4•3n-2 n-1 4•3n-1
Tn=
+1 8
+1 8•3
+…+1 8•32
-1 8•3n-2 n-1 8•3n-1
=
-3 16 2n+1 16•3n-1
4（n+1）bn+1-（3-16Tn）=
-n(n+1) 3n
=2n+1 3n-1 n(n+1)-3(2n+1) 3n
而n（n+1）-3（2n+1）=n2-5n-3
当n＞
或n＜5+ 37 2
＜0时，有n（n+1）＞3（2n+1）5- 37 2
所以当n＞5时有3-16Tn＜4（n+1）bn+1
那么同理可得：当
＜n＜5- 37 2 5+ 37 2
时有n（n+1）＜3（2n+1），所以当1≤n≤5时有3-16Tn＞4（n+1）bn+1
综上：当n＞5时有3-16Tn＜4（n+1）bn+1；
当1≤n≤5时有3-16Tn＞4（n+1）bn+1
