问题
解答题
已知f(x)=
（1）试判断并证明f（x）的单调性； （2）当λ取何值时，方程f（x）+f（-x）=λ有实数解？ |
答案
（1）设x1，x2∈（0，1），x1＞x2 ，-------------（1分）
故有 f(
)-f(x 1
)=x 2
-2x1 4x2+1
=2x2 4x2+1
=2x1(4x2+1)-2x2(4x1+1) (4x2+1)(4x2+1)
．-------（3分）(2x1+x2-1)(2x2-2x1) (4x2+1)(4x2+1)
∵2x1+x2＞1，2x2＜2x1∴f(x1)＜f(x2)，
∴f（x）为减函数．---------（5分）
（2）∵f（x）在x∈（0，1）上单调递减，∴f（1）＜f（x）＜f（0），即
＜f(x)＜2 5
．1 2
∵f（-x）=
=2-x 4-x+1
=f(x)，2x 4x+1
∴λ=f（x）+f（-x）=2f（x），即当x∈（0，1）时，
＜λ＜1．-------------（8分）4 5