解　（1）∵f（x）是R上的偶函数，∴f（-1）=f（1），∴

e-1

a

+

a

e-1

=

e

a

+

a

e

，即  

e-1

a

+

a

e-1

=

e

a

+

a

e

，即

1

ae

-

a

e

=

e

a

-ae．

∴

1

e

(

1

a

-a)=e（

1

a

-a），∴

1

a

-a=0，∴a²=1．

又a＞0，∴a=1．

（2）由上可得f（x）=e^x+e^-x．

由于函数f（x）的导数f′（x）=e^x-

1

ex

，当x＞0时，e^x＞1，∴f′（x）=e^x-

1

ex

＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．