问题
解答题
设等比数列{an}的前n项和Sn，首项a1=1，公比q=f(λ)=
（Ⅰ）证明：Sn=（1+λ）-λan； （Ⅱ）若数列{bn}满足b1=
（Ⅲ）若λ=1，记cn=an(
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答案
（Ⅰ）证明：Sn=
=a1(1-qn) 1-q
=(1+λ)[1-(a1[1-(
)n]λ 1+λ 1- λ 1+λ
)n]=(1+λ)-λ(λ 1+λ
)n-1λ 1+λ
而an=a1(
)n-1=(λ 1+λ
)n-1所以Sn=（1+λ）-λan（4分）λ 1+λ
（Ⅱ）f(λ)=
，∴bn=λ 1+λ
，∴bn-1 1+bn-1
=1 bn
+1，（6分）1 bn-1
∴{
}是首项为1 bn
=2，公差为1的等差数列，1 b1
=2+(n-1)=n+1，即bn=1 bn
．（8分）1 n+1
（Ⅲ）λ=1时，an=(
)n-1，∴cn=an(1 2
-1)=n(1 bn
)n-1（9分）1 2
∴Tn=1+2(
)+3(1 2
)2++n(1 2
)n-1∴1 2
Tn=1 2
+2(1 2
)2+3(1 2
)3++n(1 2
)n1 2
相减得∴
Tn=1+(1 2
)+(1 2
)2++(1 2
)n-1-n(1 2
)n=2[1-(1 2
)n]-n(1 2
)n1 2
∴Tn=4-(
)n-2-n(1 2
)n-1＜4，（12分）1 2
又因为cn=n(
)n-1＞0，∴Tn单调递增，1 2
∴Tn≥T2=2，故当n≥2时，2≤Tn＜4．（13分）
于水无明显的温度变化；②Na2CO3，能使酚酞试液变红；③CaCl2。