问题
解答题
设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是
①
（1）求
（2）若四边形AnBnBn+1An+1的面积是an，求an（n∈N*）的表达式； （3）对于（2）中的an，是否存在最小的自然数M，对一切（n∈N*）都有an＜M成立？若存在，求M；若不存在，说明理由． |
答案
（1）
=OAn
+OA1
+…+A1A2
=An-1An
+(n-1)(j
+i
)=(n-1)j
+ni
=(n-1，n)．j
=OBn
+OB1
+…+B1B2
=3Bn-1Bn
+(i
)1×32 3
+(i
)2×32 3
+…+(i
)n-1×32 3
=i
×31-(
)n2 3 1- 2 3
=(9-9×(i
)n，0)．2 3
（2）设AnAn+1的所在的直线交x轴于点p，则有
an=S△PAn+1Bn+1-S△PAnBn=
[10-9×(1 2
)n+1]×(n+1)-2 3
[10-9×(1 2
)n]×n2 3
=5+(n-2)×(
)n-1．2 3
（3）an-an+1=[5+3(n-2)×(
)n-1]-[5+3(n-1)×(2 3
)n]=3×(2 3
)n-1[(n-2)-(n-1)×(2 3
)]=(n-4)×(2 3
)n-1．2 3
∴a1-a2＜0，a2-a3＜0，a3-a4＜0．a4-a5=0，a5-a6＞0，a6-a7＞0，等等．
即在数列{an}中，a4=a5=5+
是数列的最大项，所以存在最小的自然数M=6，对一切n∈N*，都有an＜M成立．8 9