| 已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x2+2ax+1（a为正实数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等． （1）求a的值； （2）对于函数F（x）及其定义域D，若存在x0∈D，使F（x0）=x0成立，则称x0为F（x）的不动点．若f（x）+g（x）+b在其定义域内存在不动点，求实数b的取值范围； （3）若n为正整数，证明：10f(n)•(
（参考数据：lg3=0.3010，(
|
（1）∵函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等，∴f（0）=g（0），即|a|=1．
又a＞0，∴a=1． …（2分）
（2）由（1）知，f(x)+g(x)+b=
．x2+3x+bx≥1 x2+x+2+bx＜1
当x≥1时，若f（x）+g（x）+b存在不动点，则有x2+3x+b=x，即b=-x2-2x=-（x+1）2+1． …（3分）
∵x≥1，∴-（x+1）2+1≤-3，此时b≤-3． …（4分）
当x＜1时，若f（x）+g（x）+b存在不动点，则有x2+x+2+b=x，即b=-x2-2…（5分）
∵x＜1，∴-x2-2≤-2，此时b≤-2． …（6分）
故要使得f（x）+g（x）+b在其定义域内存在不动点，则实数b的取值范围应为（-∞，-2]． …（7分）
（3）证明：设G(n)=10f(n )•(
)g( n )．4 5
因为n为正整数，
∴G(n)=10n-1•(
) n2+2n+1＞0． …（8分）4 5
∴
=G(n+1) G(n)
=10×(10n•(
) (n+1)2+2(n+1)+14 5 10n-1•(
) n2+2n+14 5
) 2n+3． …（9分）4 5
当
＜1时，10×(G(n+1) G(n)
) 2n+3＜1，即(2n+3)lg(4 5
)＜-1，亦即2n+3＞4 5
，∴n＞-1 3lg2-1
-1 2-6lg2
≈3.7． …（11分）3 2
由于n为正整数，因此当1≤n≤3时，G（n）单调递增；当n≥4时，G（n）单调递减．
∴G（n）的最大值是max{G（3），G（4）}． …（12分）
又G(3)=102×(
)16=100×0.0281=2.81，G(4)=103×(4 5
)25=1000×0.0038=3.8，4 5
…（13分）
∴G（n）≤G（4）＜4． …（14分）