问题
解答题
某国由于可耕地面积少,计划从今年起的五年填湖围造一部分生产和生活用地,若填湖费、购置排水设备费等所需经费与当年所填湖造地面积x(亩)的平方成正比,其比例系数为a,设每亩水面的年平均经济效益为b元,填湖造地后的每亩土地的年平均收益为c元(其中a,b,c均为常数).
(1)若按计划填湖造地,且使得今年的收益不小于支出,试求所填面积x的最大值.
(2)如果填湖造地面积按每年1%的速度减少,为保证水面的畜洪能力和环保要求,填湖造地的总面积不能超过现有水面面积的25%,求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几.
注:根据下列近似值进行计算:
0.992≈0.98,0.992≈0.97,0.994≈0.96,0.995≈0.95,0.996≈0.94,0.997≈0.93.
答案
(1)收益不小于支出的条件可以表示为cx≥ax2+bx,
所以ax2+(b-c)x≤0,x[ax-(c-b)]≤0.
当c-b≤0,即
≤x≤0时,此时不能填湖造地,c-b a
当c-b>0,即0≤x≤
时,此时所填面积的最大值为c-b a
亩;c-b a
(2)设该地现在水面m亩,今年填湖造地x亩.
则x+(1-1%)x+(1-1%)2x+(1-1%)3x+(1-1%)4x≤0.25m,
即
≤x(1-0.995) 1-0.99
,所以x≤m 4
,m 20
因此今年填湖造地面积最多只能占现有水面的
.1 20